Solución: sean \(w=\left(b-a\right)\) y \(l=\left(d-c\right)\) el ancho y largo del rectangulo, por lo que \(A=(b-a)(d-c)\), aplicando integración sobre una región, \begin{align} &A=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}dydx=\int_{a}^{b}{\left.y\right|_c^ddx}\\ &A=\int_{a}^{b}{(d-c)dx}=(d-c)\left.x\right|_a^b\\ &A=(d-c)(b-a)\end{align} que por propiedad conmutativa es \(A=(b-a)(d-c)\) como se quería demostrar.

Solución: la recta \(L_1\) está dada por \(y=\frac{hx}{c},\) mientras que \(L_2\) es \(y=\frac{h}{c-b}(x-b),\) aplicando la definición de área como integral doble como la suma de las regiones, \begin{align} &A=\int_{0}^{c}{\int_{0}^{\frac{h}{c}x}dydx}+\int_{c}^{b}{\int_{0}^{\frac{h}{c-b}(x-b)}dydx}=\int_{0}^{c}{\left.y\right|_0^{\frac{hx}{c}}dx}+\int_{c}^{b}{\left.y\right|_0^{\frac{h(x-b)}{c-b}}dx}\\ &A=\int_{0}^{c}{\frac{h}{c}xdx}+\int_{c}^{b}{\frac{h}{c-b}(x-b)dx}=\left.\frac{h}{c}\frac{x^2}{2}\right|_0^c+\left.\frac{h}{c-b}\left(\frac{x^2}{2}-bx\right)\right|_c^b\\ &A=\frac{hc}{2}+\frac{h}{c-b}\left(\frac{b^2}{2}-b^2-\frac{c^2}{2}+bc\right)=\frac{hc}{2}+\frac{h}{c-b}\left(-\frac{c^2}{2}+bc-\frac{b^2}{2}\right)\\ &A=\frac{hc}{2}-\frac{h}{2(c-b)}\left(c^2-2bc+b^2\right)=\frac{hc}{2}-\frac{h{(c-b)}^2}{2(c-b)}\\ &A=\frac{hc}{2}-\frac{h\left(c-b\right)}{2}=\frac{hc-hc+bh}{2}=\frac{bh}{2}\\ \end{align} La cual es la expresión conocida para el área de un triángulo de base \(b\) y altura \(h.\)

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Solución: él área de la región está dada por la expresión, $$A=\int_{a}^{b}{\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx}$$ Para los límites de integración, en el eje horizontal se observa que \(-a\le x\le a\); en el eje vertical ye va desde cero hasta la curva, por lo que, se inicia por despejar ye, en la ecuación de la elipse, para escribir la integral doble en la forma, \begin{align} &A=\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}dydx\end{align} que al hacer \(x=a\sin{\theta}\) en \(\sqrt{a^2-x^2}\) para realizar integración trigonométrica donde \(dx=a\cos{\theta}\) se tiene que:
Cuando \(x \longrightarrow -a\) entonces \(\theta \longrightarrow -\pi/2\)
Cuando \(x\longrightarrow a\) entonces \(\theta \longrightarrow \pi/2\) por lo que, \begin{align} &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{b}{a} \sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}{a\cos{\theta}dyd\theta}\\ &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{a\cos{\theta}}\int_{0}^{\frac{b}{a} \sqrt{a^2\cos^2{\theta}}}{dyd\theta}\\ &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{a\cos{\theta}}\int_{0}^{\frac{b}{a} \sqrt{a^2\cos^2{\theta}}}{yd\theta}\\ &A=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{b\cos{\theta}}{a\cos{\theta}dyd\theta}\\ &A=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{ab\cos^2{\theta}d\theta}\\ &A=2ab\left(\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi ab}{2} \end{align} Como el área total de la elipse es dos veces el área de la semi elipse, del resultado encontrado se infiere que el área total de la elipse es \(A=\pi ab\).

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Solución: el área entre las curvas está dada por, $$A=\int_{a}^{b}{\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx}$$ para determinar los límites de integración \(a,b\) se igualan las expresiones de ye, resolviendo para equis la ecuación resultante.
\(y_1=y_2\) de donde \(1+x^2=3-x^2\Longrightarrow2x^2-2=0\Longrightarrow2(x^2-1)=0.\)
\(\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\) por lo que \(x_1=-1\ \ \ x_2=1.\) Calculando ahora el área. \begin{align} &A=\int_{-1}^{1}{\int_{1+x^2}^{3-x^2}dydx}=\int_{-1}^{1}\left.y\right|_{x^2+1}^{3-x^2}dx\\ &A=\int_{-1}^{1}{(3-x^2-(x^2+1)})dx=\int_{-1}^{1}{(2-2x^2})dx\\ &A=\left.\left(2x-\frac{{2x}^3}{3}\right)\right|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-\left(-2+\frac{2}{3}\right)\\ &A=\frac{3(2)-2}{3}-\frac{3(-2)+2}{3}=\frac{8}{3}\end{align}

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Solución: el área entre las curvas está dada por, $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx;$$ para determinar los límites \(a,b\) se igualan \(y_1=y_2\Longrightarrow x^2=4-x^2\) de donde \(2x^2-4=0\Longleftrightarrow x_1=-\sqrt2\ \ \ x_2=\sqrt2\) \begin{align} &A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\int_{x^2}^{4-x^2}dydx=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}{\left.y\right|_{x^2}^{4-x^2}dx}\\ &A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(4-2x^2\right)dx=\left.\left(4x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\\ &A=4\sqrt2-\frac{2{(\sqrt2)}^3}{3}-\left(4(-\sqrt2)-\frac{2{(-\sqrt2)}^3}{3}\right)\\ &A=4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}+4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}=\frac{16\sqrt2}{3}\end{align}

Solución: haciendo \(y_1=y_2\) se tiene \(x^2+2=4-x^2\) de donde, \(2x^2-2=0\Longleftrightarrow x_1=-1\ \ \ x_2=1\) por lo que, \begin{align} &A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx=\int_{-1}^{1}\int_{x^2+2}^{4-x^2}dydx=\int_{-1}^{1}{\left.y\right|_{x^2+2}^{4-x^2}dx}\\ &A=\int_{-1}^{1}\left(4-x^2-x^2-2\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(2-2x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-\left(-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3} \end{align}

Solución: el área está dada por $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx$$ para determinar los límites \(a,b\) se iguala \(y_1=y_2\ \Longrightarrow x^2-6=2-x^2\) \begin{align} &2x^2-8=0\Longrightarrow 2(x^2-4)=0\Longleftrightarrow x_1=-2;\ x_2=2\\ &A=\int_{-2}^{2}\int_{x^2-6}^{2-x^2}dydx=\int_{-2}^{2}{\left.y\right|_{x^2-6}^{2-x^2}dx}\\ &A=\int_{-2}^{2}\left(2-x^2-x^2+6\right)dx=\int_{-2}^{2}\left(8-2x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\right|_{-2}^2=8(2)-\frac{2{(2)}^3}{3}-\left(8(-2)-\frac{2{(-2)}^3}{3}\right)\\ &A=16-\frac{16}{3}+16-\frac{16}{3}=\frac{64}{3}\end{align}

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Solución: el área está dada por $$A=\int_{a}^{b}\int_{y_1\left(x\right)}^{y_2\left(x\right)}dydx$$ para determinar los límites \(a,b\) se igualan \( y_1=y_2\ \Longrightarrow x^2-1=5-x\) \begin{align} &x^2+x-6=0\Longrightarrow(x+3)(x-2)=0\Longleftrightarrow x_1=-3;\ x_2=2\\ &A=\int_{-3}^{2}\int_{x^2-1}^{5-x}dydx=\int_{-3}^{2}{\left.y\right|_{x^2-1}^{5-x}dx}\\ &A=\int_{-3}^{2}\left(5-x-x^2+1\right)dx=\int_{-3}^{2}\left(6-x-x^2\right)dx\\ &A=\left.\left(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{-3}^2=6(2)-\frac{2^2}{2}-\frac{2^3}{3}-\left(6(-3)-\frac{{(-3)}^2}{2}-\frac{{(-3)}^3}{3}\right)\\ &A=12-2-\frac{8}{3}+18+\frac{9}{2}-9=\frac{125}{6}\end{align}

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